Cálculo Exemplos

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y e^{x y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Etapa 1.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

Etapa 1.3.7

Multiplique $e^{x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Some $0$ e $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Etapa 1.4.3

Reordene os fatores em $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + x e^{x y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Etapa 2.2.2

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

Etapa 2.3.7

Multiplique $e^{x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $0$ e $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores em $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x y e^{x y} + e^{x y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $x y e^{x y} + e^{x y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

Etapa 5.3

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

Etapa 5.4

Deixe $u = x y$ . Depois, $d u = y d x$ , então, $\frac{1}{y} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.4.1

Deixe $u = x y$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Diferencie $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 5.4.1.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$y$

Etapa 5.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

Etapa 5.5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

Etapa 5.6

Como $\frac{1}{y}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{y}$ e $y$ .

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Etapa 5.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

Etapa 5.7.3

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

Etapa 5.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

Etapa 5.9

Simplifique.

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

Etapa 5.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + e^{x y} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.3.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.3.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Some $0$ e $e^{x y} x$ .

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 8.5.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $x e^{x y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Subtraia $x e^{x y}$ de $x e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 y$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Etapa 10.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$