Cálculo Exemplos

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x y$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x - y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x + 2 y = 2 x - y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- x + 2 y = 2 x - y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x - y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} - x y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} - x y$ por $N$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.5

Some $2 y$ e $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $3$ de $- 3 x + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.6.2

Fatore $3$ de $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.2.6.3

Fatore $3$ de $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2} - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Etapa 4.3.3.1.2

Fatore $x$ de $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Etapa 4.3.3.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- x + y$ e $x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $y^{2} - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x^{2} - x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $x$ de $x^{2} - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6.1.2

Fatore $x$ de $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $\frac{1}{x^{2}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Etapa 8.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Etapa 8.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Etapa 8.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.2

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 11.2.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ e $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y - \frac{y^{2}}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.5

Como $- \frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.6

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.9

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.10

Some $y$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.11

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.12

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.12.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.12.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.16

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.17

Para escrever $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.19

Multiplique $x^{- 3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.19.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.3.19.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3

Combine os termos.

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Etapa 11.5.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.3

Combine $x$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.4

Combine $y$ e $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.7

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 11.5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.7.2

Divida $2 y$ por $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.9

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.12

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.13

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.14

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.5.3.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.16

Subtraia $2 y$ de $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.17

Multiplique $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.18

Combine.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.19

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.20

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 11.5.3.20.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.20.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.21

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.3.21.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 11.5.3.21.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.21.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.21.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.22

Para escrever $\frac{d g}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 11.5.4

Reordene os termos.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Etapa 12.1.2

Simplifique $y (y - x)$ .

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Etapa 12.1.2.1

Reescreva.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Etapa 12.1.2.2

Simplifique somando os zeros.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Etapa 12.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Etapa 12.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1.2.4.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Etapa 12.1.2.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Etapa 12.1.3

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.3.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Etapa 12.1.3.2

Some $x y$ aos dois lados da equação.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Etapa 12.1.3.3

Combine os termos opostos em $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

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Etapa 12.1.3.3.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Etapa 12.1.3.3.2

Some $- y x$ e $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Etapa 12.1.3.3.3

Reorganize os fatores nos termos $- y x$ e $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Etapa 12.1.3.3.4

Some $- x y$ e $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 12.1.4

Divida cada termo em $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{3}$ e simplifique.

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Etapa 12.1.4.1

Divida cada termo em $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Etapa 12.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Etapa 12.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Etapa 12.1.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.1.4.3.1

Divida $0$ por $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Etapa 15.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Etapa 15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.3.1

Fatore $y$ de $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Etapa 15.3.1.2

Fatore $y$ de $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Etapa 15.3.1.3

Fatore $y$ de $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Etapa 15.3.2

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Etapa 15.3.3

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Etapa 15.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Etapa 15.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Etapa 15.4

Combine $y$ e $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Etapa 15.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 15.6

Combine.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15.7

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$