Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $3 y + 1$ .

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $3 y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(3 y + 1) d y = 4 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 3 y + 1 d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.5.3

Reordene os termos.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y = 2 x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} + y = 2 x^{2} + K$

Etapa 3.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} = K$

Etapa 3.2.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} - K = 0$

Etapa 3.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} - 2 K = 0$

Etapa 3.3.3

Mova $2 y$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Etapa 3.3.4

Reordene $3 y^{2}$ e $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 2$ e $c = - 4 x^{2} - 2 K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.6

Fatore $4$ de $4 + 48 x^{2} + 24 K$ .

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Etapa 3.6.1.6.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.6.2

Fatore $4$ de $48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.6.3

Fatore $4$ de $24 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.6.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (12 x^{2})$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.7

Reescreva $4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)$ como $2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)$ .

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Etapa 3.6.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.7.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + K}}{3}$