Cálculo Exemplos

$e^{x} d x - y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $e^{x} d x$ dos dois lados da equação.

$- y d y = - e^{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - y d y = \int - e^{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int y d y = \int - e^{x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} = - e^{x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{2}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 2 (- e^{x} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = - 2 (- e^{x}) - 2 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y^{2} = 2 e^{x} - 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} - 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 e^{x} - 2 K$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) - 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $- 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 (- K)}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 (e^{x}) + 2 (- K)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$