Cálculo Exemplos

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ por ${(1 + x)}^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ por ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de ${(1 + x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(1 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de ${(1 + y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + y$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

Reescreva $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + y$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 1 + x$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{1 + x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1 + y, 1 + x, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 3.1.5

O fator de $1 + y$ é o próprio $1 + y$ .

$(1 + y) = 1 + y$

$(1 + y)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.1.6

O fator de $1 + x$ é o próprio $1 + x$ .

$(1 + x) = 1 + x$

$(1 + x)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.1.7

O MMC de $1 + y, 1 + x$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(1 + y) (1 + x)$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ por $(1 + y) (1 + x)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ por $(1 + y) (1 + x)$ .

$- \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{1 + y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- (1 + x) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{1 + x}$ para o numerador.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Fatore $1 + x$ de $(1 + y) (1 + x)$ .

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- 1 - x = - (1 + y) + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 - x = - 1 \cdot 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.4

Expanda $(1 + y) (1 + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 (1 + x) + y (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y (1 + x))$

Etapa 3.2.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Etapa 3.2.3.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.5.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Etapa 3.2.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y \cdot 1 + y x)$

Etapa 3.2.3.1.5.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y + y x)$

Etapa 3.2.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K \cdot 1 + K (x) + K (y) + K (y x)$

Etapa 3.2.3.1.7

Multiplique $K$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K + K x + K y + K y x$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$ .

$- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- y + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K$

Etapa 3.3.2.3

Subtraia $K x$ dos dois lados da equação.

$- y + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K - K x$

Etapa 3.3.2.4

Combine os termos opostos em $- 1 - x + 1 - K - K x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$- y + K y + K y x = - x + 0 - K - K x$

Etapa 3.3.2.4.2

Some $- x$ e $0$ .

$- y + K y + K y x = - x - K - K x$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $- y + K y + K y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \cdot - 1 + K y + K y x = - x - K - K x$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y \cdot - 1 + y K + K y x = - x - K - K x$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $y$ de $K y x$ .

$y \cdot - 1 + y K + y (K x) = - x - K - K x$

Etapa 3.3.3.4

Fatore $y$ de $y \cdot - 1 + y K$ .

$y \cdot (- 1 + K) + y (K x) = - x - K - K x$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $y$ de $y \cdot (- 1 + K) + y (K x)$ .

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ por $- 1 + K + K x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ por $- 1 + K + K x$ .

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 1 + K + K x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- x - K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- x - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - K$ .

$y = \frac{- (x + K) - K x}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- K x$ .

$y = \frac{- (x + K) - (K x)}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- (x + K) - (K x)$ .

$y = \frac{- (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.7

Reescreva $- (x + K + K x)$ como $- 1 (x + K + K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.8

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) + K + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.9

Fatore $- 1$ de $K$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) - 1 (- K) + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.10

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) + K x}$

Etapa 3.3.4.3.2.11

Fatore $- 1$ de $K x$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) - (- K x)}$

Etapa 3.3.4.3.2.12

Fatore $- 1$ de $- 1 (1 - K) - (- K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Etapa 3.3.4.3.2.13

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Etapa 3.3.4.3.2.14

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x + K + K x}{1 - K - K x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{x + K + K x}{K + K x}$