Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.5

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Etapa 1.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Some $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Etapa 1.6.2

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y$ por $N$ .

$\frac{2 y + 0}{y}$

Etapa 4.3.2

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{2 y}{y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{y}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 2 d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x^{2} + y^{2} + x$ por $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $y$ por $e^{2 x}$ .

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = y e^{2 x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $e^{2 x}$ é constante com relação a $y$ , mova $e^{2 x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Etapa 8.3.3

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.2

Combine $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.9

Combine $2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.10

Combine $\frac{2 y^{2}}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.3.11.2

Divida $y^{2} e^{2 x}$ por $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 11.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $y^{2} e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Subtraia $y^{2} e^{2 x}$ de $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.5.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.6

Como $\frac{1}{2} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot 2$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.7.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.7.3

Multiplique $\int e^{2 x} (x) d x$ por $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.9.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.11

Remova os parênteses.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.12

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.12.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.12.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 13.12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 13.12.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.13

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.15.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.15.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.16

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

Etapa 13.17

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 13.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.18.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 13.18.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 13.19

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 13.20

Remova os parênteses.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Etapa 13.21

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.21.1

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.21.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 13.21.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.21.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.21.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 13.21.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 13.22

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 13.23

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13.24

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.24.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.24.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.25

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 13.26

Simplifique.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 13.27

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.27.1

Some $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ e $\frac{x e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 13.27.2

Some $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ e $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 13.27.3

Para escrever $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Etapa 13.27.4

Combine $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 13.27.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 13.27.6

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 13.27.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Etapa 13.27.8

Combine $- 4$ e $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Etapa 13.27.9

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.27.9.1

Fatore $4$ de $- 4 e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

Etapa 13.27.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.27.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

Etapa 13.27.9.2.2

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

Etapa 13.27.9.2.3

Reescreva a expressão.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

Etapa 13.27.9.2.4

Divida $- e^{u_{2}}$ por $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

Etapa 13.27.10

Subtraia $e^{u_{2}}$ de $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

Etapa 13.27.11

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.27.11.1

Fatore $4$ de $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

Etapa 13.27.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.27.11.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Etapa 13.27.11.2.2

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Etapa 13.27.11.2.3

Reescreva a expressão.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

Etapa 13.27.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

Etapa 13.27.12

Some $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ e $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.28

Reordene os termos.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Etapa 15.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

Etapa 15.1.4

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$