Cálculo Exemplos

$(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y^{2} + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y^{2}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y^{3} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3} - x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Como $2 y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Etapa 2.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $4 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y + 1 = - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 x y + 1 = - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $4 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x y^{2} + y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x y^{2} + y$ por $M$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $- 1$ de $- 1 - (4 x y + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Reordene $- 1$ e $- (4 x y + 1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1 (1)}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- (4 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1 + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- (4 x y + 2)}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $2$ de $4 x y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Fatore $2$ de $4 x y$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2)}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2 (1))}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2.3.3

Fatore $2$ de $2 (2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (2 x y + 1))}{2 x y^{2} + y}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $2 x y^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y}$

Etapa 4.3.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y^{1}}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot 1}$

Etapa 4.3.3.4

Fatore $y$ de $y (2 x y) + y \cdot 1$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2 x y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.5

Substitua $2 x y^{2} + y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $2 x y^{2} + y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x y^{2} + y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $2 x y^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y) + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y (2 x y) + y^{1}}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y (2 x y) + y \cdot 1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.3.4

Fatore $y$ de $y (2 x y) + y \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x y + 1)}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $2 y^{3} - x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $2 y^{3} - x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x y + 1}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{2 x y + 1}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} + \frac{1}{y} d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

Etapa 8.3.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int \frac{1}{y} d x$

Etapa 8.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int \frac{1}{y} d x$

Etapa 8.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d x$

Etapa 8.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

Etapa 8.7.2

Combine $\frac{1}{y}$ e $x$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{x}{y} + C$

Etapa 8.8

Simplifique.

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.2.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$0 - \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.5.2.2

Subtraia $\frac{x}{y^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3} - x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3}) - - x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} - - x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + 1 x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- x - 2 y^{3} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- 2 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Cancele o fator comum de $y^{3}$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Fatore $y^{2}$ de $- 2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{1} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.4

Divida $- 2 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 y = 0$

Etapa 12.1.2

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $2 y$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Etapa 13.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + y^{2} + C$