Cálculo Exemplos

$y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y^{1}} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y}{1} + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.3.2.5

Divida $3 y$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.4

Fatore $x$ de $\frac{- 2 x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 2}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Etapa 1.5

Reordene $x$ e $\frac{- 2}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2}{y} x = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , em que $P (y) = \frac{- 2}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 2}{y} d y}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 2}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| y |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (y)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (y^{- 2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$y^{- 2}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{y^{2}}$ e $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (- \frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{2}{y}$ e $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{2 x}{y}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y \cdot y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1} y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1 + 2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.2.5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = 3 \frac{1}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Etapa 3.3.4

Combine.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y^{1}}$

Etapa 3.3.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2 + 1}}$

Etapa 3.3.5.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{3}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{- 2}{y^{3}}$

Etapa 3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] d y = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Etapa 7.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Etapa 7.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Etapa 7.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{3}} d y$

Etapa 7.5

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Etapa 7.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Etapa 7.6.2

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Etapa 7.6.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Etapa 7.6.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 3} d y$

Etapa 7.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Etapa 7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1.1

Combine $y^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 7.8.1.2

Mova $y^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Etapa 7.8.2

Simplifique.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - \frac{- 1}{y^{2}} + C$

Etapa 7.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - - \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 7.8.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + 1 \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 7.8.3.3

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Subtraia $3 \ln (| y |)$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 8.1.2

Subtraia $\frac{1}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} = C$

Etapa 8.1.3

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Etapa 8.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1

Combine $\frac{1}{y^{2}}$ e $x$ .

$\frac{x}{y^{2}} - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Etapa 8.1.4.2

Simplifique $- 3 \ln (| y |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x}{y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some $\ln ({| y |}^{3})$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3})$

Etapa 8.2.2

Some $\frac{1}{y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 8.2.3

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{y^{2}} = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Etapa 8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$

Etapa 8.4.2.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.3.1

Reordene os fatores em $\ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1 + C y^{2}$

Etapa 8.4.2.1.3.2

Mova $1$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + C y^{2} + 1$

Etapa 8.4.2.1.3.3

Reordene $y^{2} \ln ({| y |}^{3})$ e $C y^{2}$ .

$x = C y^{2} + y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1$