Cálculo Exemplos

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x} y$ em relação a $y$ é $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $x e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x e^{x} y$ em relação a $y$ é $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $0$ e $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores em $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $x e^{x} + e^{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

Etapa 2.5.3

Reordene os fatores em $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x e^{x} + e^{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $x e^{x} + e^{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x e^{x} + 2$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(x e^{x} + 2) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3.7

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.3.8

Some $x e^{x} + e^{x}$ e $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 8.5.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Reordene os fatores em $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $x y e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

Etapa 9.1.2.2

Subtraia $y e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Etapa 9.1.2.3

Combine os termos opostos em $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

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Etapa 9.1.2.3.1

Subtraia $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

Etapa 9.1.2.3.2

Some $1 + y e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

Etapa 9.1.2.3.3

Subtraia $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Etapa 9.1.2.3.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $1$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Etapa 10.3

Aplique a regra da constante.

$g (x) = x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$