Cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ por $\cos^{2} (x)$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ por $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3.1.4

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.1.6

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3.1.7

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \sec^{2} (x)$

Etapa 1.1.3.1.8

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$

Etapa 1.2

Fatore $\sec^{2} (x)$ de $y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $\sec^{2} (x)$ de $y \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + 3 \sec^{2} (x)$

Etapa 1.2.2

Fatore $\sec^{2} (x)$ de $3 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$

Etapa 1.2.3

Fatore $\sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) (y + 3)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $y + 3$ de $\sec^{2} (x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 3} d y = \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 3$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.3

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{\tan (x) + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\tan (x) + C} = | y + 3 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$ .

$| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{\tan (x) + C}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\tan (x) + C} - 3$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\tan (x) + C}$ como $e^{\tan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\tan (x)} e^{C} - 3$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\tan (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\tan (x)} - 3$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\tan (x)} - 3$