Cálculo Exemplos

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (2 x^{2} - x y + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x^{2} - x y + 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 2 x^{2} - x y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x^{2} - x y + 1] + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x y$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + 0) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.8

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \cdot 1$

Etapa 1.3.10

Multiplique $2 x^{2} - x y + 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + 2 x^{2} - x y + 1$

Etapa 1.4

Subtraia $x y$ de $y (- x)$ .

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Etapa 1.4.1

Mova $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - x y - x y + 1$

Etapa 1.4.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 x y + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x - y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.4

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Etapa 2.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x^{2} - 2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x^{2} - 2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x - y$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x - y$ por $N$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{x - y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 0}{x - y}$

Etapa 4.3.2.2

Some $2 x^{2} - 2 x y$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x - y}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x^{2} - 2 x y$ .

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Etapa 4.3.2.3.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x - y}$

Etapa 4.3.2.3.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x - y}$

Etapa 4.3.2.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x - y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$2 x$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 2 x d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.1

Reescreva $e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ como $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y (2 x^{2} - x y + 1)$ por $e^{x^{2}}$ .

$y (2 x^{2} - x y + 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y (2 x^{2}) + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 y x^{2} + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 y x^{2} - y (x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$(2 y x^{2} - y (x y) + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Mova $y$ .

$(2 y x^{2} - (y \cdot y) x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(2 y x^{2} - y^{2} x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x - y$ por $e^{x^{2}}$ .

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) e^{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y + \int - y e^{x^{2}} d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C + \int - y e^{x^{2}} d y$

Etapa 8.3

Como $- e^{x^{2}}$ é constante com relação a $y$ , mova $- e^{x^{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} \int y d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 \cdot \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.6.3

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.6.4

Combine $e^{x^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.6.5

Combine $y^{2}$ e $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

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Etapa 8.7.1

Reordene os termos.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}) + C$

Etapa 8.7.2

Remova os parênteses.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2}) e^{x^{2}} + C$

Etapa 8.7.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x e^{x^{2}} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.9

Some $1$ e $1$ .

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x^{2}}$ .

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.3.11

Multiplique $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}]$ .

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Etapa 11.4.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.2

Combine $e^{x^{2}}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.3

Como $- \frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 11.4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - 2 \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.7

Combine $- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{- 2 y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.8

Combine $e^{x^{2}}$ e $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.9

Combine $\frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2}$ e $x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.10

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 11.4.10.1

Fatore $2$ de $e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.10.2.2

Cancele o fator comum.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.10.2.3

Reescreva a expressão.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- y^{2}) x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.4.10.2.4

Divida $e^{x^{2}} (- y^{2}) x$ por $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 11.6.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.2

Subtraia $y e^{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.3

Some $y^{2} x e^{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$ .

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Etapa 12.1.4.1

Reorganize os fatores nos termos $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ e $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.2

Subtraia $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ de $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.3

Some $- y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.4

Subtraia $y e^{x^{2}}$ de $y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + 0 + y^{2} x e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.5

Some $- y^{2} x e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.6

Some $- y^{2} x e^{x^{2}}$ e $y^{2} x e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $e^{x^{2}}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$