Cálculo Exemplos

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 2 x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $y$ é $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $- 2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y^{2} - 2 x y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y^{2} - 2 x y$ por $M$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.4

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $4 x - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $y^{2} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2 x - y$ e $y - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (- 2 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (- 2 x + y)$ como $- 1 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Etapa 4.3.4.5

Reordene os termos.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Etapa 4.3.4.6

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Etapa 4.3.4.7

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.6

Substitua $y^{2} - 2 x y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y^{2} - 2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y^{2} - 2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $y^{2} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 8.2

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 8.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 8.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Reescreva $x^{2} (- y^{- 1} + C)$ como $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

Etapa 8.5.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $- \frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{y}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.3.5

Combine $\frac{- 2}{y}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{y - 2 x}{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- 2 x - y + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Etapa 12.1.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $1$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Etapa 13.3

Aplique a regra da constante.

$g (x) = x + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$