Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2} e^{- y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (3 x^{- 2} e^{- y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Etapa 1.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $e^{- y}$ de $x^{- 2} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$

Etapa 1.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.5

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ como $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{y} + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = - \frac{3}{x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (- \frac{3}{x} + K)$