Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = \cos (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = \cos (x)$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = \cos (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \cot (x)$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sin (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 3.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Reordene $\sin (x)$ e $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\sin (x) (\cot (x) y)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 3.2.3

Cancele os fatores comuns.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sin (x) y = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 7.1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\sin (x) y = \int u d u$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ por $\sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $\sin (x)$ de $\frac{1}{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin (x)}{1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{2} \sin (x)$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Separe as frações.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Etapa 8.3.1.5

Divida $C$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + C \csc (x)$