Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Etapa 1.3.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Etapa 7.3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Etapa 7.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Etapa 7.6

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Etapa 7.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.7.1

Reescreva $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ como $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Etapa 7.7.2

Simplifique.

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Etapa 7.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Etapa 7.7.2.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $- \cos (x)$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.3

Para escrever $- \cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.4

Combine $- \cos (x)$ e $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.6

Fatore $- 1$ de $- \cos (x) x^{2}$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.7

Fatore $- 1$ de $2 x \sin (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.8

Fatore $- 1$ de $- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.9

Fatore $- 1$ de $2 \cos (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.10

Fatore $- 1$ de $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.11

Fatore $- 1$ de $C$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

Etapa 8.3.12

Fatore $- 1$ de $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Etapa 8.3.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.3.13.1

Reescreva $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ como $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Etapa 8.3.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.13.3

Reordene os fatores em $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$