Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Etapa 2.4

Remova os parênteses.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Etapa 2.5

Fatore $e^{r x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Etapa 2.5.2

Fatore $e^{r x}$ de $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Etapa 2.5.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Etapa 2.5.4

Fatore $e^{r x}$ de $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Etapa 2.5.5

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Etapa 2.6

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Etapa 3

Resolva $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $5$ de $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $r^{2} - 2 r - 8$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Etapa 3.5

Defina $r - 4$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $r - 4$ como igual a $0$ .

$r - 4 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$r = 4$

Etapa 3.6

Defina $r + 2$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $r + 2$ como igual a $0$ .

$r + 2 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$r = - 2$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(r - 4) (r + 2) = 0$ verdadeiro.

$r = 4, - 2$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$