Cálculo Exemplos

$(2 x + 1) d y + y^{2} d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $y^{2} d x$ dos dois lados da equação.

$(2 x + 1) d y = - y^{2} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $2 x + 1$ de $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (y^{2})} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y^{2}$ de $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{2 x + 1} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.3.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique $- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ .

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Etapa 5.1.1

Reordene $\ln (| 2 x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - (\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 5.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Etapa 5.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Reordene os fatores em $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Reescreva a equação como $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$

Etapa 5.4.2

Fatore $y$ de $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ .

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Etapa 5.4.2.1

Fatore $y$ de $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C y = - 1$

Etapa 5.4.2.2

Fatore $y$ de $C y$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C = - 1$

Etapa 5.4.2.3

Fatore $y$ de $y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Etapa 5.4.3

Reescreva $- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ como $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Etapa 5.4.4

Divida cada termo em $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ por $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.4.4.1

Divida cada termo em $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ por $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Etapa 5.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.4.2.1

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Etapa 5.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Etapa 5.4.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C}$

Etapa 5.4.4.3.3

Fatore $- 1$ de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)}$

Etapa 5.4.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Etapa 5.4.4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.4.3.5.1

Reescreva $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ como $- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Etapa 5.4.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Etapa 5.4.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Etapa 5.4.4.3.5.4

Multiplique $\frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$