Cálculo Exemplos

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Etapa 3.3.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Etapa 6.2.1.2

Divida $0$ por $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Etapa 6.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Etapa 6.2.4

Multiplique $C$ por $1$ .

$C - 1 = 1$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$C = 1 + 1$

Etapa 6.3.2

Some $1$ e $1$ .

$C = 2$

Etapa 7

Substitua $2$ por $C$ em $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $2$ por $C$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$