Cálculo Exemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - 2 y = {(x + 1)}^{4}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x + 1) \frac{d y}{d x} - 2 y = {(x + 1)}^{4}$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{4}$ e $x + 1$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{3}}{1}$

Etapa 1.3.2.4

Divida ${(x + 1)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{- 2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{- 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 2}{x + 1}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 2}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 2}{x + 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 2.2.5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(x + 1)}^{- 2}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{- 2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{- 2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{2}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{2 y}{x + 1}$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.2.1

Multiplique $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.2.5.2.1.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.2.5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Etapa 7.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Etapa 7.4

Simplifique.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.3

Para escrever $x {(x + 1)}^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.4

Combine $x {(x + 1)}^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.6

Fatore $x {(x + 1)}^{2}$ de $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 8.4.2.1.6.1

Fatore $x {(x + 1)}^{2}$ de $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.6.2

Fatore $x {(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.6.3

Fatore $x {(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Etapa 8.4.2.1.7

Para escrever $C {(x + 1)}^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.4.2.1.8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.4.2.1.8.1

Combine $C {(x + 1)}^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 8.4.2.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 8.4.2.1.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.2.1.9.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 8.4.2.1.9.1.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 8.4.2.1.9.1.2

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

Etapa 8.4.2.1.9.1.3

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

Etapa 8.4.2.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Etapa 8.4.2.1.9.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Etapa 8.4.2.1.9.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

Etapa 8.4.2.1.9.5

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$