Cálculo Exemplos

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$8 y d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 8 y d y = \int x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante com relação a $y$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int y d y = \int x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.3.1.3

Combine.

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ .

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Etapa 3.3.1

Para escrever $\frac{K}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{K}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

Etapa 3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

Etapa 3.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

Etapa 3.3.5

Reescreva $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $x^{2} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

Etapa 3.3.5.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Etapa 3.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Etapa 3.3.7

Reescreva $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.8

Combine.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.11.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.11.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.11.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 3.3.11.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.11.6

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.3.11.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.3.11.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.11.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.11.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.11.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.11.7.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.11.7.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 3.3.11.7.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.12

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.13.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.3.13.2

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$