Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Etapa 1.1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

Etapa 1.1.3

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

Etapa 1.1.4

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Etapa 1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.1

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Etapa 1.1.5.2

Converta de $\frac{1}{\sin (y)}$ em $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

Etapa 1.1.5.3

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

Etapa 1.1.6

Fatore $\csc (y)$ de $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ .

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Etapa 1.1.6.1

Fatore $\csc (y)$ de $x \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

Etapa 1.1.6.2

Fatore $\csc (y)$ de $- 9 \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

Etapa 1.1.6.3

Fatore $\csc (y)$ de $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $\csc (y)$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $\csc (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $\sin (y)$ por $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\sin (y)$ com relação a $y$ é $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\cos (y)$ por $1$ .

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ como $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 9 x}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot (- 9 x)$ como $- (- 9 x)$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.6

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.7

Mova o número negativo do denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

Etapa 3.1.3.1.8

Reescreva $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

Etapa 3.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$