Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x + 3 y}$ $y (0) = 0$

Etapa 1

Deixe $v = e^{2 x + 3 y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{2 x + 3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{2 x + 3 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + 3 y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{2 x + 3 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + 3 y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} - \frac{2}{3} = v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Some $\frac{2}{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v + \frac{2}{3}$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v) = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Simplifique $\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 v$ .

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Simplifique $(v + \frac{2}{3}) (3 v)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} = v (3 v) + \frac{2}{3} (3 v)$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{2}{3} (3 v)$

Etapa 5.1.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{2}{3} (3 v)$

Etapa 5.1.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + 2 v$

Etapa 5.1.3.2.1.4

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.4.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 (v \cdot v) + 2 v$

Etapa 5.1.3.2.1.4.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 v^{2} + 2 v$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 v^{2} + 2 v}$ .

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} (3 v^{2} + 2 v)$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $3 v^{2} + 2 v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} (3 v^{2} + 2 v)$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} d v = 1 d x$

Etapa 6

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} d v = \int d x$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $v$ de $3 v^{2} + 2 v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Fatore $v$ de $3 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (3 v) + 2 v}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Fatore $v$ de $2 v$ .

$\frac{1}{v (3 v) + v \cdot 2}$

Etapa 6.2.1.1.1.3

Fatore $v$ de $v (3 v) + v \cdot 2$ .

$\frac{1}{v (3 v + 2)}$

Etapa 6.2.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (3 v + 2)$ .

$\frac{1 (v (3 v + 2))}{v (3 v + 2)} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (3 v + 2))}{v (3 v + 2)} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (3 v + 2)}{3 v + 2} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $3 v + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (3 v + 2)}{3 v + 2} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.6.1.2

Divida $A (3 v + 2)$ por $1$ .

$1 = A (3 v + 2) + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (3 v) + A \cdot 2 + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 3 A v + A \cdot 2 + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.6.4

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 3 A v + 2 A + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.6.5

Divida $B v$ por $1$ .

$1 = 3 A v + 2 A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = 3 v A + 2 A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7.2

Reordene $B$ e $v$ .

$1 = 3 v A + 2 A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7.3

Mova $2 A$ .

$1 = 3 v A + B v + 2 A$

Etapa 6.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 3 A + B$

Etapa 6.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A$

Etapa 6.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

Etapa 6.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = 2 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Etapa 6.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 3 A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = \frac{3}{2} + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{3}{2} + B = 0$ .

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Subtraia $\frac{3}{2}$ dos dois lados da equação.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2 v} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3 v + 2}$

Etapa 6.2.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{3 v + 2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2 v} - \frac{3}{(3 v + 2) \cdot 2}$

Etapa 6.2.1.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $3 v + 2$ .

$\int \frac{1}{2 v} - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Etapa 6.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2 v} d v + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Etapa 6.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Etapa 6.2.4

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Etapa 6.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Etapa 6.2.6

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{3 v + 2} d v) = \int d x$

Etapa 6.2.7

Deixe $u_{2} = 3 v + 2$ . Depois, $d u_{2} = 3 d v$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

Deixe $u_{2} = 3 v + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1.1

Diferencie $3 v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 2]$

Etapa 6.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 v + 2$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [2]$

Etapa 6.2.7.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $3 v$ em relação a $v$ é $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Etapa 6.2.7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [2]$

Etapa 6.2.7.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [2]$

Etapa 6.2.7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2$ em relação a $v$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 6.2.7.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 6.2.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.8.2

Mova $3$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Etapa 6.2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.3

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Etapa 6.2.12

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Etapa 7

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Etapa 7.1.1.2

Combine $\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$

Etapa 7.2

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$ por $2$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}$ para o numerador.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 2 \cdot x + C \cdot 2$

Etapa 7.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 2 x + 2 C$

Etapa 7.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 2 x + 2 C$

Etapa 7.4

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{2 x + 2 C}$

Etapa 7.5

Reescreva $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 2 x + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Etapa 7.6

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Reescreva a equação como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{2 x + 2 C}$

Etapa 7.6.2

Multiplique os dois lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.1

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| v | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.4.1

Reordene os fatores em $e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{2 x + 2 C}$

Etapa 7.6.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{2 x + 2 C}$

Etapa 8

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique a constante de integração.

$v = \pm | u_{2} | e^{2 x + C}$

Etapa 8.2

Reescreva $e^{2 x + C}$ como $e^{2 x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{2 x} e^{C})$

Etapa 8.3

Reordene $e^{2 x}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{2 x})$

Etapa 8.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C | u_{2} | e^{2 x}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{2 x + 3 y}$ .

$e^{2 x + 3 y} = C | u_{2} | e^{2 x}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 x + 3 y}) = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Etapa 10.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Expanda $\ln (e^{2 x + 3 y})$ movendo $2 x + 3 y$ para fora do logaritmo.

$(2 x + 3 y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Etapa 10.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(2 x + 3 y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $2 x + 3 y$ por $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Etapa 10.3

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Reescreva $\ln (C | u_{2} | e^{2 x})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$

Etapa 10.3.2

Reescreva $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$

Etapa 10.3.3

Expanda $\ln (e^{2 x})$ movendo $2 x$ para fora do logaritmo.

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x \ln (e)$

Etapa 10.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x \cdot 1$

Etapa 10.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x$

Etapa 10.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 2 x$

Etapa 10.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 2 x - 2 x$

Etapa 10.5.2

Combine os termos opostos em $\ln (C | u_{2} |) + 2 x - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Etapa 10.5.2.2

Some $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |)$

Etapa 10.6

Divida cada termo em $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Divida cada termo em $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Etapa 10.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Etapa 10.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Etapa 11

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$ .

$0 = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Etapa 12

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina o numerador como igual a zero.

$\ln (C | u_{2} |) = 0$

Etapa 12.2

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Para resolver $C$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (C | u_{2} |)} = e^{0}$

Etapa 12.2.2

Reescreva $\ln (C | u_{2} |) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{2} |$

Etapa 12.2.3

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Reescreva a equação como $C | u_{2} | = e^{0}$ .

$C | u_{2} | = e^{0}$

Etapa 12.2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C | u_{2} | = 1$

Etapa 12.2.3.3

Divida cada termo em $C | u_{2} | = 1$ por $| u_{2} |$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.3.1

Divida cada termo em $C | u_{2} | = 1$ por $| u_{2} |$ .

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Etapa 12.2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Etapa 12.2.3.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{2} |}$

Etapa 13

Substitua $\frac{1}{| u_{2} |}$ por $C$ em $y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua $\frac{1}{| u_{2} |}$ por $C$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}{3}$

Etapa 13.2

Reescreva $\frac{\ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$ .

$y = \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$

Etapa 13.3

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({(\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \ln ({(\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 13.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \ln (1^{\frac{1}{3}})$

Etapa 13.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \ln (1)$

Etapa 13.6

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$y = 0$