Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{4}}$ com relação a $x$ é $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ como $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $8$ por $y$ em $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ .

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 + K = 8$

Etapa 4.2.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + K = 8$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$K = 8 - 12$

Etapa 4.3.2

Subtraia $12$ de $8$ .

$K = - 4$

Etapa 5

Substitua $- 4$ por $K$ em $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 4$ por $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$