Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 0.4 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.4 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.4 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.2

Combine $0.4$ e $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.4}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.4}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.4$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.4 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.4 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.4 d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.4 d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.4 d t$

Etapa 2.2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.4 d t$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.4 d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.4 t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.4 t + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.4 t + K$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.4 t + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.4 t}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.4 t}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4 t}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Fatore $0.4$ de $0.4 t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Separe as frações.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.4}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4

Divida $0.4$ por $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.2 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.5

Cancele o fator comum de $0.2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.5.1

Fatore $0.2$ de $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.2 \frac{t}{0.2 \cdot 5} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2}} = 0.2 \frac{t}{0.2 \cdot 5} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t}{5} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${(\frac{t}{5} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Expanda $(\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{t}{5} (\frac{t}{5} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{t}{5} \cdot \frac{t}{5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{t}{5} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{t}{5} \cdot \frac{t}{5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Multiplique $\frac{t}{5} \cdot \frac{t}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.1.1

Multiplique $\frac{t}{5}$ por $\frac{t}{5}$ .

$y = \frac{t \cdot t}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.1.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t^{1} t}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.1.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t^{1} t^{1}}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{t^{1 + 1}}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{t^{2}}{5 \cdot 5} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.1.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $\frac{t}{5} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Multiplique $\frac{t}{5}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{5 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{t}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.3.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{t}{5}$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{2 \cdot 5} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.2

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.3

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{t K}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Some $\frac{t K}{10}$ e $\frac{K t}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.2.1

Reordene $t$ e $K$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{K t}{10} + \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2.2

Some $\frac{K t}{10}$ e $\frac{K t}{10}$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + 2 \frac{K t}{10} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y = \frac{t^{2}}{25} + 2 \frac{K t}{2 (5)} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{t^{2}}{25} + 2 \frac{K t}{2 \cdot 5} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{t^{2}}{25} + \frac{K t}{5} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.4

Simplifique $\frac{t^{2}}{25} + \frac{K t}{5} + \frac{K^{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $\frac{t^{2}}{25}$ .

$y = \frac{K t}{5} + \frac{K^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{25}$

Etapa 3.4.2

Reordene $\frac{K t}{5}$ e $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + \frac{K t}{5} + \frac{t^{2}}{25}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = K + \frac{K t}{5} + \frac{t^{2}}{25}$