Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = \frac{x}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - x y$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $\frac{x}{y} - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $x$ de $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} - x y$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $x$ de $x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - 1 y)$

Etapa 1.2.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y)$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y \cdot \frac{y}{y})$

Etapa 1.2.4

Combine $- y$ e $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} + \frac{- y \cdot y}{y})$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 - y \cdot y}{y}$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y \cdot y}{y}$

Etapa 1.2.6.2

Reescreva $y \cdot y$ como $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y^{2}}{y}$

Etapa 1.2.6.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} (x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine $x$ e $\frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} (x ((1 + y) (1 - y)))$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $(1 + y) (1 - y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Fatore $(1 + y) (1 - y)$ de $x ((1 + y) (1 - y))$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) (x))$

Etapa 1.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) x)$

Etapa 1.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = (1 + y) (1 - y)$ . Depois, $d u = - 2 y d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = (1 + y) (1 - y)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = 1 + y$ e $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.6.3

Reescreva $- 1 (1 + y)$ como $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.2.1.1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.2.1.1.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.11

Multiplique $1 - y$ por $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Etapa 2.2.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Etapa 2.2.1.1.4.2.2

Some $- 1$ e $1$ .

$- y + 0 - y$

Etapa 2.2.1.1.4.2.3

Some $- y$ e $0$ .

$- y - y$

Etapa 2.2.1.1.4.2.4

Subtraia $y$ de $- y$ .

$- 2 y$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Expanda $(1 + y) (1 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.2

Multiplique $- y$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.5.1

Mova $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Some $- y$ e $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Combine $\ln (| 1 - y^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.4.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.1.1.5.2

Multiplique $\ln (| 1 - y^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - y^{2} |)} = e^{- x^{2} - 2 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - 2 C} = | 1 - y^{2} |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$ .

$| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.4.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ como $- (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.5.4.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1$

Etapa 3.5.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} + C}) + 1}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- x^{2} + C}$ como $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 1}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 1}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{- (C e^{- x^{2}}) + 1}$