Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} - 20 t^{4} e^{- y} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $20 t^{4} e^{- y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d t} = 20 t^{4} e^{- y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (20 t^{4} e^{- y})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 \frac{1}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Etapa 1.3.2

Combine $20$ e $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $e^{- y}$ de $t^{4} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 t^{4}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 20 t^{4} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 20 t^{4} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Etapa 2.2.1.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 20 t^{4} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $20$ é constante com relação a $t$ , mova $20$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 20 \int t^{4} d t$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{4}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$ como $20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $20$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{20}{5} t^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $20$ e $5$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5} t^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 (1)} t^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} t^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{1} t^{5} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 t^{5} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = 4 t^{5} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (4 t^{5} + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (4 t^{5} + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (4 t^{5} + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (4 t^{5} + K)$