Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x)$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Etapa 7.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Etapa 7.4

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Etapa 7.5

Reescreva $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ como $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2

Divida $- \cos (x)$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$