Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 1 = x + y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} + 1 - y = x$

Etapa 1.1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 1}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \cdot x}$

Etapa 3.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x}$

Etapa 3.3.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 3.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 7.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Etapa 7.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Etapa 7.6

Simplifique.

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Etapa 7.6.1

Simplifique.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Etapa 7.6.2

Simplifique.

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Etapa 7.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Etapa 7.6.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1.1

Subtraia $\ln (| x |)$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) = \frac{1}{x} + C$

Etapa 8.1.2

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} = C$

Etapa 8.1.3

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Etapa 8.1.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.2.1

Some $\ln (| x |)$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{x} - \frac{1}{x} - C = \ln (| x |)$

Etapa 8.2.2

Some $\frac{1}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{x} - C = \ln (| x |) + \frac{1}{x}$

Etapa 8.2.3

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = \ln (| x |) x + 1 + C x$

Etapa 8.4.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.4.2.1.3.1

Reordene os fatores em $\ln (| x |) x + 1 + C x$ .

$y = x \ln (| x |) + 1 + C x$

Etapa 8.4.2.1.3.2

Mova $1$ .

$y = x \ln (| x |) + C x + 1$

Etapa 8.4.2.1.3.3

Reordene $x \ln (| x |)$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |) + 1$