Cálculo Exemplos

$(x^{3} + x y^{2} - y) d x + (y^{3} + x^{2} y - x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + x y^{2} - y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x y^{2} - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.2.2

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1$

Etapa 1.5

Some $0$ e $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{3} + x^{2} y - x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y - x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + x^{2} y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $0$ e $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 1$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + x y^{2} - y d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

Etapa 5.3

Como $y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} \int x d x + \int - y d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + C$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.2.2

Como $\frac{1}{4} x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3.5

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3.6

Combine $\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.7.1

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.3.7.2

Divida $x^{2} y$ por $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y x$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x^{2} y - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + x^{2} y - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Some $0$ e $x^{2} y$ .

$x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y - x = y^{3} + x^{2} y - x$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - x = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y$

Etapa 9.1.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + 0 + x$

Etapa 9.1.3.2

Some $y^{3} - x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + x$

Etapa 9.1.3.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $y^{3}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 12.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 12.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{y^{4}}{4} + C$