Cálculo Exemplos

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ por $y \ln (x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ por $y \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{y - 1}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}}}{y \ln (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y \ln (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Combine.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} (y \ln (x))}$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique ${(y - 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2} y \ln (x)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) (\frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Combine.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y (x^{2} \ln (x))}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2} \ln (x)$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $x^{2} \ln (x)$ de $y (x^{2} \ln (x))$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) (y)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) y}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y}$

Etapa 1.4.3

Multiplique ${(y - 1)}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$x^{2} \ln (x) d x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int x^{2} \ln (x) d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.4.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$ como $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.6.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.6.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.6.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.6.3

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.6.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Reescreva ${(y - 1)}^{2}$ como $(y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{(y - 1) (y - 1)}{y} d y$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{y} d y$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{y} d y$

Etapa 2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Etapa 2.3.5

Reordene $y$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Etapa 2.3.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Etapa 2.3.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Etapa 2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Etapa 2.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.9.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{y} d y$

Etapa 2.3.10

Subtraia $1 y$ de $- 1 y$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 2 y + 1}{y} d y$

Etapa 2.3.11

Divida $y^{2} - 2 y + 1$ por $y$ .

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Etapa 2.3.11.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Etapa 2.3.11.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

Etapa 2.3.11.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Etapa 2.3.11.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{2} + 0$ .

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Etapa 2.3.11.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

Etapa 2.3.11.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

Etapa 2.3.11.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

Etapa 2.3.11.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

Etapa 2.3.11.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 y + 0$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

Etapa 2.3.11.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Etapa 2.3.11.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y - 2 + \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.3.12

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.3.13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.3.14

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.3.15

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \ln (| y |) + C_{4}$

Etapa 2.3.16

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C$