Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d θ} = - π \cos (π θ)$ , $r (1) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d r = - π \cos (π θ) d θ$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d r = \int - π \cos (π θ) d θ$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$r + C_{1} = \int - π \cos (π θ) d θ$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- π$ é constante com relação a $θ$ , mova $- π$ para fora da integral.

$r + C_{1} = - π \int \cos (π θ) d θ$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = π θ$ . Depois, $d u = π d θ$ , então, $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = π θ$ . Encontre $\frac{d u}{d θ}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $π$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $π θ$ em relação a $θ$ é $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$r + C_{1} = - π \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = - π \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = - π (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{π}$ e $π$ .

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$r + C_{1} = - 1 \cdot 1 \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r + C_{1} = - \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$r + C_{1} = - (\sin (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$r + C_{1} = - \sin (u) + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π θ$ .

$r + C_{1} = - \sin (π θ) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$r = - \sin (π θ) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $θ$ e $2$ por $r$ em $r = - \sin (π θ) + K$ .

$2 = - \sin (π \cdot 1) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \sin (π \cdot 1) + K = 2$ .

$- \sin (π \cdot 1) + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $- \sin (π \cdot 1) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- \sin (π) + K = 2$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \sin (0) + K = 2$

Etapa 4.2.1.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 0 + K = 2$

Etapa 4.2.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 2$

Etapa 5

Substitua $2$ por $K$ em $r = - \sin (π θ) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $2$ por $K$ .

$r = - \sin (π θ) + 2$