Cálculo Exemplos

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ dos dois lados da equação.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{y} + 2 x y - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.4

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.6

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Etapa 3.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Etapa 3.12

Simplifique.

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Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Etapa 3.12.2

Combine os termos.

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Etapa 3.12.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Etapa 3.12.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 y + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y + 2$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = - 2 y + 2$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- 2 y + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Etapa 5.3.3

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Etapa 5.3.5

Fatore $- 1$ de $- (2 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Etapa 5.3.6

Reescreva $- (2 y - 1)$ como $- 1 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Etapa 5.3.7

Substitua $y$ por $M$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Etapa 6.2

Divida $2 y - 1$ por $y$ .

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Etapa 6.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Etapa 6.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Etapa 6.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Etapa 6.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 y + 0$ .

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Etapa 6.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Etapa 6.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.3

Divida a integral única em várias integrais.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.4

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.6

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Etapa 6.7

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y$ por $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ por $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Etapa 7.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Etapa 7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $e^{y}$ por $e^{- 2 y + \ln (y)}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.6.1

Mova $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Etapa 7.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Etapa 7.6.3

Some $- 2 y$ e $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 y + \ln (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.7

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.3.10

Multiplique $e^{- 2 y + \ln (y)}$ por $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 12.5.3.3.1

Fatore $y$ de $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.3.4

Remova os parênteses.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.4

Some $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ e $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 12.5.5

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

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Etapa 13.1.2.1

Some $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ e $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.2.2

Some $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ e $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.2.3

Subtraia $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ de $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.2.4

Some $0$ e $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.3

Como $\frac{d g}{d y}$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 13.1.4

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 13.1.4.1

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Etapa 13.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.1.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Etapa 13.1.4.2.2

Divida $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Etapa 13.1.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.1.4.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 13.1.4.3.2

Reescreva $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ como $- e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- e^{- y + \ln (y)}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Etapa 14.4

Reescreva $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ como $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Etapa 14.5

Reescreva $e^{\ln (y)}$ como $y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Etapa 14.6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Etapa 14.7

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Etapa 14.8

Simplifique.

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Etapa 14.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Etapa 14.8.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Etapa 14.9

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 14.9.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 14.9.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 14.9.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 14.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 14.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 14.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Etapa 14.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Etapa 14.11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Etapa 14.12

Reescreva $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ como $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Etapa 14.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Etapa 14.14

Simplifique.

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Etapa 14.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Etapa 14.14.2

Multiplique $- (- y e^{- y})$ .

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Etapa 14.14.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Etapa 14.14.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Etapa 14.14.3

Multiplique $- - e^{- y}$ .

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Etapa 14.14.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Etapa 14.14.3.2

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Etapa 16

Reordene os fatores em $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$