Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = e^{3 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $4$ por $y$ em $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Etapa 4.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da equação.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.3

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $1$ de $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Etapa 5

Substitua $\frac{11}{3}$ por $K$ em $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{11}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$