Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 2 y} \cos (x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1 - 2 y}{y}$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} (\frac{y}{1 - 2 y} \cos (x))$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine $\frac{y}{1 - 2 y}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $1 - 2 y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1 - 2 y}{y} d y = \cos (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 - 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\ln (| y |) - 2 y + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- 2 y + \ln (| y |) = \sin (x) + C$