Cálculo Exemplos

$(x + 4 y^{2}) d y + 2 (y d) x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x + 4 y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.4

Como $4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Etapa 3.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - 2}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $2 y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $2 y$ por $M$ .

$\frac{1 - 2}{2 y}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2 y}$

Etapa 5.3.3

Substitua $2 y$ por $M$ .

$- \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 y} d y}$

Etapa 6.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $- \frac{1}{2} \ln (| y |)$ .

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Etapa 6.5.1.1

Reordene $\ln (| y |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| y |))} + C$

Etapa 6.5.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| y |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Etapa 6.5.2

Simplifique $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Etapa 6.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Etapa 6.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Etapa 6.5.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Etapa 6.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 6.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2 y$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Combine $y$ e $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y \cdot 2 y^{- \frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.2

Multiplique $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Etapa 7.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y^{1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.5

Some $- 1$ e $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.5

Mova $2$ para a esquerda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $x + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $x + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{\frac{1}{2}} x$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.9

Combine $2$ e $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.10

Combine $x$ e $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.12

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.13

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.14

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 13.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 13.1.1.3.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Subtraia $4 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.4.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.4.2.1

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 (y^{- \frac{1}{2}} y^{2}) = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1.4.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{3}{2}} = 0$

Etapa 13.1.2

Some $4 y^{\frac{3}{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $4 y^{\frac{3}{2}}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Etapa 14.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (y) = 4 \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{\frac{3}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 14.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.5.1

Reescreva $4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ como $4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14.5.2

Simplifique.

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Etapa 14.5.2.1

Combine $4$ e $\frac{2}{5}$ .

$g (y) = \frac{4 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14.5.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$g (y) = \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 16

Simplifique $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ .

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Etapa 16.1

Combine $\frac{8}{5}$ e $y^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 16.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 x y^{\frac{1}{2}} + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$