Cálculo Exemplos

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $\cos (x) \sin (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\cos (x) \sin (x)$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Etapa 1.4

Subtraia $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

Etapa 2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y (1 - x^{2})$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

Etapa 2.8.2

Reordene os fatores de $y (- 2 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 x y = - 2 x y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $1 - x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $1 - x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 5.3

Reescreva $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.2

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.8

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.9

Combine $- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.10

Combine $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.11

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 8.3.11.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.3.11.2.4

Divida $- y^{2} x$ por $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $y^{2} x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ .

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Etapa 9.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $- x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

Etapa 9.1.2.2

Some $- y^{2} x$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

Etapa 9.1.2.3

Some $\cos (x) \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $\cos (x) \sin (x)$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 10.3

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.3.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.3.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 10.3.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 10.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \int - u d u$

Etapa 10.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int u d u$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 10.6

Reescreva $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 10.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 12.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 12.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 12.6

Combine $y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Etapa 12.7

Combine $\cos^{2} (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$