Cálculo Exemplos

$7 y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$7 y d y = 6 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 7 y d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $7$ é constante com relação a $y$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{7}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2}) = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{7}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 y^{2}}{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Combine.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3}) + \frac{2}{7} K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $\frac{2}{7} (2 x^{3})$ .

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{7}$ .

$y^{2} = \frac{2 \cdot 2}{7} x^{3} + \frac{2}{7} K$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} = \frac{4}{7} x^{3} + \frac{2}{7} K$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Combine $\frac{4}{7}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2}{7} K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $\frac{2}{7}$ e $K$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}}$ .

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Etapa 3.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K}{7}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $4 x^{3} + 2 K$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K}{7}}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K}{7}}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K)}{7}}$

Etapa 3.4.3

Reescreva $\sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K)}{7}}$ como $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Etapa 3.4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Etapa 3.4.5.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Etapa 3.4.5.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Etapa 3.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Etapa 3.4.5.6

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 3.4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Etapa 3.4.5.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7}$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K) \cdot 7}}{7}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$