Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Etapa 1.3.2

Combine.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Etapa 1.3.4

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Etapa 1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Etapa 1.3.5

Fatore $\sin (θ)$ de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Etapa 1.3.6

Separe as frações.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Etapa 1.3.7

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Etapa 1.3.8

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Etapa 1.3.9

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Etapa 1.3.10

Multiplique $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

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Etapa 1.3.10.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Etapa 1.3.10.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Etapa 1.3.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Etapa 1.3.10.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.5

Deixe $u_{1} = - y$ . Depois, $d u_{1} = - d y$ , então, $- d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Deixe $u_{1} = - y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.5.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.7

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.8

Reescreva $y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})$ como $- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.2.10

Reordene os termos.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = \sin (θ)$ . Depois, $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , então, $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = \sin (θ)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 2.3.1.1.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (θ)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$