Cálculo Exemplos

$- \frac{2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

Etapa 1

Some $\frac{2 y}{t^{3}} d t$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{t^{2}} d y = \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{t^{2}}{y}$ .

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Etapa 3.3

Combine.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{y t^{3}} d t$

Etapa 3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $t^{2}$ de $y t^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| t |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| t |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Multiplique os dois lados por $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Etapa 5.5.3

Simplifique.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Etapa 5.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Etapa 5.5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

Etapa 5.5.4

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm t^{2} C$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C t^{2}$