Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- 1}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Multiplique $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6.1.1.2

Simplifique $- {(v^{- 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

Etapa 6.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

Etapa 6.1.1.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

Etapa 6.1.1.3

Some $\frac{1}{v}$ aos dois lados da equação.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

Etapa 6.1.1.4

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.4.1

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.2.2

Divida $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.4.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.3.1.2

Divida $\frac{1}{v^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

Etapa 6.1.1.4.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ como $- \frac{1}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

Etapa 6.1.1.5

Multiplique os dois lados por $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Etapa 6.1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.2.1

Simplifique $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.2

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.3

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{v}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.3.2

Fatore $v$ de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Etapa 6.1.1.6.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Etapa 6.1.1.6.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

Etapa 6.1.1.6.2.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.6.2.1.4.1

Reescreva $- 1 v$ como $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

Etapa 6.1.1.6.2.1.4.2

Reordene $1$ e $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{- v + 1}$ por $- v + 1$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $- v + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Deixe $u = - v + 1$ . Depois, $d u = - d v$ , então, $- d u = d v$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Deixe $u = - v + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Etapa 6.2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 6.2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 6.2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 6.2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 6.2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- v + 1$ .

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 6.2.3

Aplique a regra da constante.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

Etapa 6.3

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.2.2

Divida $\ln (| - v + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

Etapa 6.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

Etapa 6.3.2

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

Etapa 6.3.3

Reescreva $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

Etapa 6.3.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Reescreva a equação como $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ .

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

Etapa 6.3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

Etapa 6.3.4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

Etapa 6.3.4.4

Divida cada termo em $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.1

Divida cada termo em $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.4.2.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ como $- (\pm e^{- x - C})$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.4.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique a constante de integração.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

Etapa 6.4.2

Reescreva $e^{- x + C}$ como $e^{- x} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

Etapa 6.4.3

Reordene $e^{- x}$ e $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

Etapa 6.4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

Etapa 7

Substitua $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$