Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int 4 x d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$x y = 4 \int x d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x y = 2 x^{2} + C$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $x y = 2 x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

Etapa 7

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $8$ por $y$ em $y = 2 x + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

Etapa 8

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva a equação como $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 8$

Etapa 8.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$2 + C = 8$

Etapa 8.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$C = 8 - 2$

Etapa 8.3.2

Subtraia $2$ de $8$ .

$C = 6$

Etapa 9

Substitua $6$ por $C$ em $y = 2 x + \frac{C}{x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua $6$ por $C$ .

$y = 2 x + \frac{6}{x}$