Cálculo Exemplos

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$ por $4 x$ .

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{4 x}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x}{4}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Etapa 1.6

Fatore $y$ de $\frac{- y}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Etapa 1.7

Reordene $y$ e $\frac{- 1}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{4 x} y = \frac{3}{4} x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 1}{4 x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{4 x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 1}{4 x}$ .

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Etapa 2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\int - \frac{1}{4 x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{4 x} d x}$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{4}})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- \frac{1}{4}}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{4 x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{y}{4 x}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.2.1

Mova $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.5.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{4}}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.5.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1 + 4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.2.5.2.5

Some $1$ e $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} x$

Etapa 3.4

Combine.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 \cdot 1}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Etapa 3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 3.7

Mova $x^{\frac{1}{4}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 3.8

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.8.1

Mova $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x)}{4}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{4}}$ por $x$ .

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Etapa 3.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x^{1})}{4}$

Etapa 3.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + 1}}{4}$

Etapa 3.8.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}}}{4}$

Etapa 3.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{4}}}{4}$

Etapa 3.8.5

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] d x = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $\frac{3}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $\frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$ como $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{7}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 7.3.2.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 7.3.2.4

Cancele o fator comum de $12$ e $28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 (3)}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 7.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.2.1

Fatore $4$ de $28$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 7.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 7.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{3}{7}$ e $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}} + C x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.2.1.2

Multiplique $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.1

Combine $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7}$ e $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}} x^{\frac{1}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Multiplique $x^{\frac{7}{4}}$ por $x^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.2.1

Mova $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{7}{4}})}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{3 x^{\frac{1}{4} + \frac{7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.2.1.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x^{\frac{1 + 7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.2.1.2.2.4

Some $1$ e $7$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{8}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8.4.2.1.2.2.5

Divida $8$ por $4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$