Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = x + y$

Etapa 1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d x}{d y} - x = y$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , em que $P (y) = - 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d y}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- y + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- y}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- y}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} y$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = y e^{- y}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = y e^{- y}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int y e^{- y} d y$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- y} x = \int y e^{- y} d y$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Etapa 7.2

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Etapa 7.4

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.4.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 7.4.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 7.4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 7.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Etapa 7.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Etapa 7.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Etapa 7.7

Reescreva $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ como $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Etapa 7.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $- y$ por $1$ .

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$x = - y - 1 + \frac{C}{e^{- y}}$