Cálculo Exemplos

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.2

Subtraia $e^{- y} \sec (x)$ dos dois lados da equação.

$- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ por $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ e simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ por $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.1.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$1 = \frac{e^{- y} \sec (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Separe as frações.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.4

Reescreva $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 1.1.3.3.5

Combine frações.

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Etapa 1.1.3.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.5.2

Combine.

$1 = \frac{e^{- y} \cdot 1}{\frac{d y}{d x} (\cos (x) \cos (x))}$

Etapa 1.1.3.3.5.3

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos (x) \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.3.3.6.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos (x))}$

Etapa 1.1.3.3.6.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}$

Etapa 1.1.3.3.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 1.1.3.3.6.4

Some $1$ e $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3.3.7

Multiplique por $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Etapa 1.1.3.3.8

Separe as frações.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.3.3.9

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \sec^{2} (x)$

Etapa 1.1.3.3.10

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \sec^{2} (x)$

Etapa 1.1.3.3.11

Combine $\frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a equação como $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$

Etapa 1.1.5

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1.5.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$\frac{d y}{d x}, 1$

Etapa 1.1.5.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$\frac{d y}{d x}$

Etapa 1.1.6

Multiplique cada termo em $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ por $\frac{d y}{d x}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique cada termo em $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Etapa 1.1.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.6.2.1

Cancele o fator comum de $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Etapa 1.1.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{- y} \sec^{2} (x) = 1 \frac{d y}{d x}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.6.3.1

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$e^{- y} \sec^{2} (x) = \frac{d y}{d x}$

Etapa 1.1.7

Reescreva a equação como $\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $e^{- y}$ de $e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec^{2} (x)))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.3

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = \tan (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\tan (x) + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\tan (x) + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\tan (x) + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\tan (x) + K)$