Cálculo Exemplos

$(x^{3} + \frac{y}{x}) d x + (y^{2} + \ln (x)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{3} + \frac{y}{x}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{y}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + \frac{y}{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.2.2

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.2.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Etapa 2.4

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} + \ln (x) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int y^{2} d y + \int \ln (x) d y$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \int \ln (x) d y$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \ln (x) y + C$

Etapa 5.4

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.2.2

Como $\frac{1}{3} y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\ln (x) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.3.3

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Some $0$ e $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1.1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} = \frac{y}{x}$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x} = 0$

Etapa 9.1.1.3

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x}$ .

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Etapa 9.1.1.3.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} + 0 = 0$

Etapa 9.1.1.3.2

Some $\frac{d g}{d x} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} = 0$

Etapa 9.1.2

Some $x^{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 12.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + y \ln (x) + \frac{x^{4}}{4} + C$