Cálculo Exemplos

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

Etapa 2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 (x + y^{6})$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Etapa 2.5

Como $y^{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{6}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 4$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = - 4$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 - 1}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{- 4 - 1}{y}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$\frac{- 5}{y}$

Etapa 4.3.3

Substitua $y$ por $M$ .

$- \frac{5}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $5$ é constante com relação a $y$ , mova $5$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 5 \ln (| y |)$ movendo $- 5$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{5}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $y^{5}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- 4 (x + y^{6})$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $- 4 x - 4 y^{6}$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.6

Fatore $4$ de $- 4 x - 4 y^{6}$ .

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Etapa 6.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Fatore $4$ de $- 4 y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.7

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.8

Fatore $- 1$ de $- y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.9

Fatore $- 1$ de $- (x) - (y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.10

Reescreva $- (x + y^{6})$ como $- 1 (x + y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{y^{4}}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y^{4}}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{4}}$ como ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{4}$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{4}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{4}$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $y^{- 8}$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.7.1

Mova $y^{3}$ .

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

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Etapa 11.5.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.5.2.3

Combine $x$ e $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.5.2.4

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 12.1.1.1

Some $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Some $0$ e $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Cancele o fator comum de $y^{6}$ e $y^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.1

Fatore $y^{5}$ de $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1.1.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2.4

Divida $4 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

Etapa 12.1.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 4 y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 y d y$

Etapa 13.3

Como $- 4$ é constante com relação a $y$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$g (y) = - 4 \int y d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.5.1

Reescreva $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

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Etapa 13.5.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 13.5.2.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$