Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2} + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y^{2} + 1) d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$