Cálculo Exemplos

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $u$ de $2 u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 2.3.5

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

Etapa 3

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

Etapa 5

Como $u$ é negativo na condição inicial $(0, - 3)$ , considere apenas $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $t$ e $- 3$ por $u$ .

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 3$ .

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 3$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ como ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.2.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.1

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.1.1

Some $0$ e $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.1.2

Some $0$ e $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2.3

Multiplique ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2.4

Multiplique os expoentes em ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$K^{1} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Simplifique.

$K = {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$K = 9$

Etapa 7

Substitua $9$ por $K$ em $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $9$ por $K$ .

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 9}$