Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- 1}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.3.1

Multiplique $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 6.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Fatore $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.5

Multiplique $v^{- 1}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.2.1.5.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.6

Simplifique $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.2.1.8

Multiplique $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Etapa 6.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $v^{- 2}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.3.2.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Etapa 6.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{2 - 2} \cdot - 1$

Etapa 6.1.3.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$

Etapa 6.1.3.3

Simplifique $2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} \cdot - 1$

Etapa 6.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - 2 e^{x}$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- 2 e^{x})$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x} e^{x}$

Etapa 6.3.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.3.1

Mova $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 (e^{x} e^{x})$

Etapa 6.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x + x}$

Etapa 6.3.3.3

Some $x$ e $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - 2 e^{2 x}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - 2 e^{2 x}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - 2 e^{2 x} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} v = \int - 2 e^{2 x} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

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Etapa 6.7.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{x} v = - 2 \int e^{2 x} d x$

Etapa 6.7.2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.7.2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.7.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.7.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.7.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.7.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} v = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 6.7.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 6.7.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x} v = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.5

Simplifique.

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Etapa 6.7.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 6.7.5.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 6.7.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Etapa 6.7.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Etapa 6.7.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x} v = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Etapa 6.7.5.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} d u$

Etapa 6.7.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{x} v = - (e^{u} + C)$

Etapa 6.7.7

Simplifique.

$e^{x} v = - e^{u} + C$

Etapa 6.7.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{x} v = - e^{2 x} + C$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ e $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 6.8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 6.8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 6.8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$v = \frac{- e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 6.8.3.1.2.4

Divida $- e^{x}$ por $1$ .

$v = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$