Cálculo Exemplos

$e^{- y} \sin (x) - \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Subtraia $e^{- y} \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ por $- \cos^{2} (x)$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ por $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 1.1.2.3.3

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.2.3.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \tan (x)$

Etapa 1.1.2.3.5

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Etapa 1.1.2.3.6

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.1.2.3.7

Divida $e^{- y}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec (x) \tan (x))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $e^{- y}$ de $e^{- y} \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2.3

Como a derivada de $\sec (x)$ é $\sec (x) \tan (x)$ , a integral de $\sec (x) \tan (x)$ é $\sec (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \sec (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = \sec (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\sec (x) + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\sec (x) + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\sec (x) + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\sec (x) + K)$